Twierdzenie Gaussa-Greena i wzory Greena

Niech \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.3pc \) będzie otwartym ograniczonym jednospójnym podzbiorem przestrzeni \( \hskip 0.3pc \mathbb R^n\hskip 0.3pc \) z gładkim brzegiem \( \hskip 0.3pc \partial \Omega,\hskip 0.3pc \) co oznacza że w każdym punkcie \( \hskip 0.3pc \partial \Omega\hskip 0.3pc \) istnieje wektor normalny do \( \hskip 0.3pc \partial \Omega.\hskip 0.3pc \)

Twierdzenie 1: Twierdzenie Gaussa-Greena.

ZAŁOŻENIA:

Niech \( \hskip 0.3pc F:\Omega\to \mathbb R^n\hskip 0.3pc \) będzie polem wektorowym klasy \( \hskip 0.3pc C^1.\hskip 0.3pc \)

TEZA:

Wówczas

(1)

\( \displaystyle\int_\Omega{\rm div}\,Fd x=\displaystyle\int_{\partial \Omega}F\cdot \nu\, dS, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc F=(F_1,\ldots ,F_n),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc x=(x_1,\ldots ,x_n),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc {\rm div}\,F = \dfrac{\partial F_1}{\partial x_1}+\cdots +\dfrac {\partial F_n}{\partial x_n},\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc \nu=( \nu_1, \ldots , \nu_n)\hskip 0.3pc \) jest unormowanym wektorem normalnym do \( \hskip 0.3pc \partial \Omega,\hskip 0.3pc \) skierowanym na zewnątrz obszaru \( \hskip 0.3pc \Omega,\hskip 0.3pc \) a symbol \( \hskip 0.3pc \cdot \hskip 0.3pc \) oznacza iloczyn skalarny.

Jeśli \( \hskip 0.3pc F=(0,\ldots,0,F_k,0,\ldots ,0)\hskip 0.3pc \) wówczas wzór ( 1 ) ma postać

(2)

\( \displaystyle\int_\Omega \dfrac{\partial F_k}{\partial x_k}\,d x = \displaystyle\int_{\partial \Omega} F_k\nu_k\,dS. \)

W szczególności ze wzoru ( 2 ) wynika, że dla dowolnej funkcji \( \hskip 0.3pc u\in C^2(\overline \Omega)\hskip 0.3pc \) mamy

(3)

\( \displaystyle\int_\Omega \dfrac{\partial u}{\partial x_k}d x = \displaystyle\int_{\partial\Omega} u\nu_kdS,\qquad k=1, \ldots ,n. \)

Niech \( \hskip 0.3pc g:\Omega\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) będzie funkcją klasy \( \hskip 0.3pc C^1.\hskip 0.3pc \) Podstawiając we wzorze ( 3 ) funkcje \( \hskip 0.3pc g u\hskip 0.3pc \) w miejsce \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \), otrzymamy tzw. wzór na całkowanie przez części

(4)

\( \displaystyle\int_\Omega g\dfrac{\partial u}{\partial x_k}d x = \displaystyle\int_{\partial \Omega} gu\nu_kdS-\displaystyle\int_\Omega u\dfrac{\partial g}{\partial x_k}d x, \qquad k=1, \ldots ,n. \)

Twierdzenie 2: Wzory Greena.

ZAŁOŻENIA:

Załóżmy, że \( \hskip 0.3pc \Omega\hskip 0.3pc \) jest otwartym ograniczonym jednospójnym podzbiorem przestrzeni \( \hskip 0.3pc \mathbb R^n\hskip 0.3pc \) z brzegiem \( \hskip 0.3pc \partial \Omega\hskip 0.3pc \) klasy \( \hskip 0.3pc C^1.\hskip 0.3pc \) Niech \( \hskip 0.3pc u,\,v \in C^2(\overline \Omega ).\hskip 0.3pc \) Niech \( \hskip 0.3pc \nu\hskip 0.3pc \) będzie unormowanym wektorem normalnym do brzegu \( \hskip 0.3pc \partial \Omega,\hskip 0.3pc \) skierowanym na zewnątrz obszaru \( \hskip 0.3pc \Omega.\hskip 0.3pc \)

TEZA:

Wówczas:

(5)

\( \displaystyle\int_\Omega\Delta u\, d x = \displaystyle\int_{\partial \Omega}\dfrac {\partial u}{\partial \nu}\,dS, \)

(6)

\( \displaystyle\int_\Omega \nabla u\cdot \nabla v \,d x = \displaystyle\int_{\partial \Omega}u\dfrac {\partial v}{\partial \nu} dS-\displaystyle \int_\Omega u\Delta v\, d x, \)

(7)

\( \displaystyle\int_\Omega(u \Delta v-v\Delta u)\, d x =\displaystyle\int_{\partial \Omega}\big(u\dfrac {\partial v}{\partial \nu} -v\dfrac {\partial u}{\partial \nu}\big)dS. \)

DOWÓD:

Zależność ( 5 ) otrzymamy natychmiast przyjmując we wzorze ( 1 )

\( F= {\rm grad}\, u = \nabla u = \big(\tfrac{\partial u}{\partial x_1}, \ldots ,\tfrac{\partial u}{\partial x_ n}\big). \)

Zależność ( 6 ) otrzymamy, kładąc we wzorze ( 4 ) w miejsce funkcji \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \) funkcje \( \hskip 0.3pc \dfrac{\partial v}{\partial x_k},\hskip 0.3pc \) a następnie sumując po \( \hskip 0.3pc k\hskip 0.3pc \) od \( \hskip 0.3pc 1\hskip 0.3pc \) do \( \hskip 0.3pc n.\hskip 0.3pc \)

Aby uzyskać zależność ( 7 ) wystarczy we wzorze ( 6 ) zamienić rolę \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc v\hskip 0.3pc \) a następnie otrzymaną równość odjąć od ( 6 ) .

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Twierdzenie Gaussa-Greena i wzory Greena

Twierdzenie 1: Twierdzenie Gaussa-Greena.

ZAŁOŻENIA:

TEZA:

Twierdzenie 2: Wzory Greena.

ZAŁOŻENIA:

TEZA:

DOWÓD: